Article initialement publié sur le site GDM69 en 2008
Les problèmes arithmétiques intègrent la pratique du calcul mental en situations contextualisées. L’élève doit alors faire deux efforts supplémentaires : repérage des données numériques nécessaires et choix de la bonne opération. Tout un travail de liaison entre vocabulaire / choix de l’opération doit être mené avec les élèves.
Le problème est dit lentement par le maître, il est répété une fois. Les enfants réfléchissent silencieusement sans noter l’énoncé, puis écrivent leur réponse sur leur ardoise ou leur cahier. Les élèves confrontent les résultats. Le maître demande à quelques enfants d’expliciter leur procédure.
Les problèmes proposés visent à renforcer divers sens de l’addition et de la soustraction. Ils relèvent des catégories les plus fréquemment rencontrées au cycle 3 (Cf. Typologie des problèmes d’après G. Vergnaud) :
- composition de deux états
On recherche, soit le composé (résultat), soit un élément de la composition : nombre d’objets, mesure… La situation est statique.
* Dans une classe il y a dix-huit garçons et douze filles. Combien, y a-t-il d’élèves ?
* Frédéric doit courir 2000 mètres ; Il lui en reste 549 à parcourir. Combien de mètres a-t-il déjà parcourus ?
* Dans un pré se trouvent 54 vaches ; 23 sont noires, et les autres sont blanches. Combien de vaches sont blanches ?
- transformation d’état
On part d’un état initial pour arriver à un état final. On recherche donc, soit l’état final, soit l’état initial, soit la transformation subie ; cette transformation peut être positive ou négative. La situation est dynamique.
* Max avait 350 euros. Il a reçu 65 euros pour son anniversaire. Combien d’argent possède-t-il ?
* Dans le potager de grand-père poussent 8 rangées de 16 poireaux. Il arrache 3 rangs pour les vendre au marché. Combien de poireaux reste-t-il au jardin ?
* Au jeu de l’oie, Alice doit reculer de 7 cases. Elle tombe alors sur la case 16. Sur quelle case se trouvait-elle auparavant ?
* Hier, Carole avait 1009 timbres. Sa grand-mère lui en apporte une pleine enveloppe. Maintenant, Carole a 1142 timbres. Combien y avait-il de timbres dans l’enveloppe ?
* Dans les aquariums de l’animalerie vivent 1908 poissons différents. On leur en livre 514 nouveaux. Combien y a-t-il de poissons maintenant ?
- comparaison d’état
Il n’y a pas de transformation ; il s’agit de retrouver, soit l’un des états de la comparaison (plus ou moins), soit la comparaison elle-même (la différence).
* Cathy a quinze ans de moins que son frère. Elle fête ses trente-cinq ans. Quel âge à son frère ?
* Au jeu des sept familles, Noémie a gagné 25 cartes ; Philippe en a 9 de moins qu’elle. Combien en a-t-il ?
* Dans sa tirelire, Sophie possède 226 euros ; Hervé, lui, n’en a que 173. Combien d’argent Sophie a-t-elle de plus que lui ?
- composition de transformations
C’est la gamme de problèmes qui comporte le plus de combinaisons possibles car plusieurs transformations se succèdent. On recherche, soit le résultat des transformations successives, soit l’une des composantes. On ne connaît ni l’état initial, ni l’état final ou intermédiaire.
* A la récréation j’ai gagné d’abord 13 billes puis j’en ai perdu 5 avant de rentrer en classe. Combien j’en ai maintenant ?
* Lundi dernier, j’ai perdu 32 euros. Aujourd’hui, j’ai gagné 842 euros. Quel est mon bilan de la semaine ?
* A la récréation du matin, Alain a perdu 21 billes. L’après-midi, il a rejoué. Le soir, au total, il avait gagné 9 billes. Que s’est-il passé durant la récréation de l’après-midi ?
Des exemples de problèmes
Des exemples d’énoncés de situations additives et soustractives variées différenciables en modifiant les valeurs de nombres, les formulations (affirmatives / négatives),…
– Sur 29 élèves, 12 s’entraînent au basket, les autres font de la lutte. Combien font de la lutte ?
– Paul a 34 voitures, Pierre en a 16, Justin en a 22. Combien de voitures ont-ils en les mettant ensemble ?
– Kelly achète un livre à 13 € avec un billet de 50 €. Combien lui reste-t-il d’argent ?
– Paul vient d’acheter un jeu avec deux pièces de 10 €. Il lui reste 4€. Combien coûte son jeu ?
– Dans la boîte, il y a 150 jetons, j’en retire 60. Combien de jetons y a-t-il maintenant dans la boîte ?
– Julie avait 46 billes. Elle en perd 8. Combien en a-t-elle après la partie ?
– Dans un sac, il y a 10 ballons en mousse, 3 ballons de basket, 5 ballons de volley et 2 ballons de football. Si chaque élève prend un ballon, y en aura-t-il assez pour une classe de 19 élèves ?
– Max a 29 billes maintenant, il vient d’en perdre 11. Combien de billes avait-il avant de jouer ?
– Félix a 48 billes, Johnny a 25 billes de plus que lui. Combien de billes Johnny a-t-il ?
– Louis a 52 billes, il a 25 billes de plus qu’Arthur. Combien de billes Arthur a-t-il ?
– Avant la récréation, Tom avait 16 billes, après la récréation il en a 31. Que s’est-il passé ?
– Pierre a 47 billes, Paul a 15 billes de moins que Pierre. Combien de billes a Paul ?
– Chloé a 31 vignettes, Kévin en a 23. Combien de vignettes Kévin a-t-il de moins que Chloé ?
– Alex donne 8 billes à Mathis. Il lui en reste 35. Combien Alexandre avait-il de billes avant d’en donner ?
– Antony a 39 billes, il a 15 billes de moins que Morgane. Combien Morgane a-t-elle de billes ?
– Amélie avait 75 €, elle dépense 40 €. Combien a-t-elle maintenant ?
– Dans un bus il y a 74 personnes; 12 sont debout. Combien sont assises ?
– L’émission a été rallongée de 20 min. Elle dure maintenant 50 min. Quelle était sa durée auparavant ?
– Enzo a 12 ans. Pierre a 3 ans de plus qu’Enzo. Quel âge Pierre a-t-il ?
– Maxime a 12 ans. Il a 3 ans de plus que Mathéo. Quel âge Mathéo a-t-il ?
– Gabriel mesure 145 cm, Flavie mesure 139 cm. Quelle est la différence de leurs tailles ?
– Mona a dépensé 75,E en achetant un pantalon à 43 € et un pull. Quel est le prix du pull ?
– Téa a 235 bonbons, elle donne 40 bonbons à Julie. Combien a-t-elle de bonbons maintenant ?
– Marie a 73 images, Martin a 25 images de plus que Marie. Combien d’images possède Martin ?
– Le père de Charly a 43 ans, Charly a 9 ans. Quel est l’écart de leurs âges ?
– Karim a acheté un livre à 8€. Il lui reste 15 €. Combien d’argent avait-il ?
– Nassim a 145 timbres dans sa collection. Marine en a 25 de plus. Combien en a Marine ?
– Julien avait 27€ dans son porte-monnaie avant de sortir. Maintenant il a 18€. Que s’est-il passé ? – Sur un parking sont garés 152 voitures et 7 camions. Combien y a-t-il de véhicules sur ce parking ?
– Il y a 52 tables et 43 chaises. Combien faut-il ajouter de chaises pour qu’il y ait une chaise par table ?
– Romain a 100 € d’économie et Loic 78 €. Combien Loic doit-il encore économiser pour avoir la même somme que Romain ?
– Dans un autobus il y avait 64 personnes. Au premier arrêt, 4 personnes sont descendues et 20 personnes sont montées. Combien y a-t-il de passagers dans l’autobus après cet arrêt ?
